ФОРМИРОВАНИЕ КОММУНИКАТИВНЫХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ СРЕДСТВАМИ ОБУЧЕНИЯ СПОСОБАМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
Даже незнакомый с математикой человек, взяв в руки книгу по математике, может, как правило, сразу определить, что эта книга действительно по математике, а не по какому-то другому предмету. И дело не только в том, что там обязательно будет много формул: формулы есть и в книгах по физике или химии. Дело в том, что в любой серьезной книге по математике присутствуют доказательства. Именно доказуемость математических утверждений, наличие в математических текстах доказательств – вот что нагляднее всего отличает математику от других областей знания.
Действительно, математические доказательства повсеместно признаются эталоном бесспорности. Выражения вроде «я докажу тебе математически», встречающиеся в русской классической литературе, призваны продемонстрировать доказательство, которое нельзя оспорить. Всем известно высказывание Платона: «Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?» Оно наталкивает нас на мысль, что математическое доказательство способствует развитию логического, абстрактного и эвристического мышления, формирует интеллект и ораторское искусство.
Обратим внимание на перемены, происходящие в современном обществе, они требуют ускоренного совершенствования образовательного пространства, определения целей образования, учитывающих государственные, социальные и личностные потребности и интересы. В связи с этим приоритетным направлением становится обеспечение развивающего потенциала новых образовательных стандартов.
Развитие личности в системе начального общего образования обеспечивается, прежде всего, через формирование универсальных учебных действий, которые выступают инвариантной основой образовательного процесса. В широком значении термин «универсальные учебные действия» означает умение учиться, т. е. способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта.
Одним из видов универсальных учебных действий являются коммуникативные учебные действия. Коммуникативные действия обеспечивают социальную компетентность и сознательную ориентацию учащихся на позиции других людей, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми. Именно их сформированность обеспечит успешность личности в учении. Причем, учебный предмет – математика учителями начальной школы воспринимается как средство формирования скорее логических и регулятивных универсальных действий, нежели коммуникативных. При этом потенциальная возможность формирования красивой, логичной, богатой аргументами и специальной лексикой ораторской речи, как отражения совершенного мышления, остается невостребованной. А значит, формировать навыки доказательства нужно как можно раньше.
Рассмотрим основные способы математического доказательства, которым возможно обучать в начальной школе:
I. Дедуктивные доказательства, основанные на схемах дедуктивных умозаключений:
1)А(х)=>В(х), А(а) правиле заключения
В(а)
( Если запись числа оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10. Запись числа 80 оканчивается цифрой 0, => оно делится на 10);
2)А(х)=>В(х),¬ В(а) правиле отрицания
¬А(а)
( Если углы вертикальные, то они равны. Углы А и В не равны, => они не вертикальные);
3)А(х)=>В(х), В(х)=>С(х) правиле силлогизма
А(х)=>С(х)
( Если число делится на 12, то оно делится на 6. Если число делится на 6, то оно делится на 3, => если число делится на12, то оно делится на 3).
II. Индукция - процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не строго через законы логики, а скорее через некоторые фактические, психологические или математические представления.
Различают полную индукцию — метод доказательства, при котором утверждение доказывается для конечного числа частных случаев, исчерпывающих все возможности, и неполную индукцию — наблюдения за отдельными частными случаями наводят на гипотезу, которая, конечно, нуждается в доказательстве. Неполная индукция очень часто используется на уроках математики, например, при изучении коммутативного закона сложения и умножения, равенств 0+а=а, 1•а=а, а:1=а, 0•а=0 и других закономерностей.
III. Математическая индукция. Принцип математической индукции: Пусть: 1) число единица обладает свойством А; 2) из того, что какое-либо натуральное число n обладает свойством А, вытекает, что и число n + 1 обладает свойством А. При таких условиях любое натуральное число обладает свойством А.
IV. Аналогия. Аналогия - это общеучебное умение переносить знания с одного предмета на другой в подобных заданиях. Процесс умозаключений по аналогии можно осуществить поэтапно: первый этап – операция сравнения объектов с целью установления сходства и (или) различия; второй этап – перенос свойств с оригинала (прототипа) на модель (образ).
V. Метод от противного. Этот метод доказательства основан на логическом приеме апагогия, когда несостоятельность какого-нибудь мнения доказывается таким образом, что или в нём самом, или в вытекающих следствиях мы открываем противоречие.
Метод от противного предполагает несколько этапов доказательства:
Предполагаем противоположное тому, что нужно доказать.
В ходе рассуждения приходим к противоречию с ранее изученной аксиомой, теоремой или условием задачи.
Отрицаем предположение как неверное.
По закону исключенного третьего делаем вывод.
VI. Разделительный метод. Разделительное доказательство, так же как и метод от противного, является косвенным, то есть, основано на установлении несостоятельности антитезиса. Можно не ограничивать число принимаемых во внимание возможностей только двумя, это приведет к доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпывающих все возможные альтернативы данной области.
Например, нужно доказать, что одна величина равна другой. Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или первая больше второй, или, наконец, вторая больше первой. Если удалось показать, что ни одна из величин не превосходит другую, два варианта будут отброшены и останется только третий: величины равны.
Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исключаются все возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом.
VII. Принцип Дирихле. Пусть в n коробок помещены k предметов. Если количество предметов больше количества коробок (k > n), тогда существует хотя бы одна коробка, в которой бы находилось 2 предмета.
Отметим, что не важно, в какой именно коробке находятся по крайней мере два предмета. Также не имеет значения, сколько предметов в этой коробке, и сколько всего таких коробок. Важно то, что существует хотя бы одна коробка с не менее чем двумя предметами. В литературе этот принцип также встречается под названиями: "принцип кроликов и клеток", "принцип ящиков и объектов".
Процесс обучения младших школьников способам указанных математических доказательств и развития математической речи имеет большой потенциал для развития коммуникативных универсальных учебных действий младших школьников.
Литература.
А. Г. Асмолов, Г. В. Бурменская, И. А. Володарская, О. А. Карабанова, Н. Г. Салмина, С. В. Молчанов. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе: от действия к мысли: пособие для учителя / [А.Г. Асмолов, Г.В. Бурменская, И.А. Воло¬дарская и др.]; под ред. А.Г. Асмолова. — М. : Просвещение, 2008. - 151 с.