Исследовательская работа

«О значении изучения элементов математической статистики в школьном курсе математики».

 Автор: студент группы Ф -21 Игнатов С.

Руководитель: преподаватель математики Мельникова С.В. Тамбов 2009

 В наше время прогресс науки неотделим от достижений талантливых математиков-прикладников. Математик-прикладник не узкий ремесленник, а творец. Наряду с математикой ему необходимо и глубокое знание предмета прикладного исследования. (Б.В.Гнеденко) Предмет математики достаточно сложен. Его познание – длительный трудоемкий процесс. Предполагать грядущий результат и неоспоримое значение каждой изученной темы могут только талантливые дети. Если же усиливать прикладную роль математики, показывая связь предмета с жизнью, предлагать каждую математическую задачу не только как средство, но и как цель изучения математики, можно добиться формирования представлений об идеях и методах математики, о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов; воспитания у учащихся глубокого интереса к математике. Такую уникальную возможность представляет изучение стохастической линии в школе. На примере изучения темы «Среднее арифметическое, мода и медиана. Среднее квадратическое отклонение» можно показать конкретную прикладную роль математических аппаратов. В школьный курс математики знакомит с математическим понятием - среднее арифметическое. Если мы имеем набор каких-то величин, и все они одной природы (усреднять килограммы с километрами мы, конечно, не можем), надо посчитать сумму, а затем, поделив ее на количество слагаемых, найти среднее арифметическое. Казалось бы, простое и хорошо знакомое действие, но и тут имеется несколько проблем для обсуждения. При знакомстве с некоторыми "показателями" поневоле вспоминается известная шутка о "средней заработной плате чиновника и дворника". Итак, допустим, фирма имеет две палатки, торгующие горячей выпечкой, которую они пекут на месте из полуфабрикатов. В таблице приводится примерная сводка ежедневной выручки каждой из палаток за неделю (в руб.)

Дни недели понедельник вторник среда четверг пятница суббота  воскресенье
Палатка 1         205             268      258     218         341     1515             1397
Палатка 2         759             801      670     599         633     420                301
Различие в ежедневной выручке в основном связано с расположением палаток. Палатка 1 находится в парке отдыха, в то время как Палатка 2 расположена напротив школы и вблизи проходной крупного НИИ.
Владелец фирмы решил выплачивать ежемесячную премию продавцам той палатки, которая даст в этом месяце большую выручку. При распределении премии выяснилась удивительная вещь: выигрыш в этом "соревновании" зависел только от количества выходных в месяце.
Видно, что если бы владельцу фирмы пришла в голову идея ежедневного премирования победителя какой-то фиксированной суммой, "Палатка выходного дня" могла бы рассчитывать на премии в два с половиной раза реже, хотя недельная выручка от нее больше.
В таких условиях более разумное соревнование могло бы быть основано на осреднении показателей за неделю. Допустим, недельные показатели практически совпали. Как оценить, какая из палаток полезнее для фирмы, если по каким-то причинам фирме необходимо продать одну из них?
Если выручка практически совпадает, владелец, по-видимому, поинтересуется стабильностью работы торговой точки. Вины продавцов в этом нет, но если оборудование работает два дня в неделю на износ, а в остальное время больше простоев, выход из строя такого оборудования более вероятен. Пусть в один (случайным образом выпавший) день в неделю идет сильный дождь, и на улицах мало прохожих, падение выручки особенно резко заметно, когда такой дождливый день совпадает с одним из выходных. Для сравнения можно представить спортсменов, которые имеют равные шансы выиграть, но один из них выступает ровнее. Скорее всего, именно он и будет принят в состав сборной.
Но вот еще один вопрос: а не делает ли эта самая нестабильная палатка работу фирмы в целом более стабильной, прекрасно дополняя работу палатки 2? Давайте выдвинем это утверждение в качестве гипотезы и попробуем его доказать или опровергнуть. Чтобы оценить эту проблему количественно, надо прежде всего просуммировать дневную выручку обеих палаток.

Дни недели   понедельник  вторник  среда  четверг  пятница  суббота    воскресенье
Палатка 1+2     964              1069       928       817       974          1935            1698
То, что мы описали общими словами как "нестабильность работы", в статистике называется характеристикой рассеивания. К ним относятся такие показатели как дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Покажем на предыдущем примере, как определяются эти понятия. Посчитаем сначала среднее арифметическое выручки для каждой палатки отдельно, и для обеих палаток вместе (осреднение проводим за семь дней): Хср.1=600 руб., Хср.2=598 руб., Хср.1+2=1198 руб. Чтобы сравнить разброс значений, посчитаем для обеих палаток дневные отклонения выручки от их собственного среднего значения. Дни недели понедельниквторниксредачетвергпятницасубботавоскресенье
Палатка 1-395-332-342-383-259915797
Палатка 216120372135-178-297
Палатка 1+2-234-129-270-382-224737500
Чтобы измерить, насколько одна палатка "нестабильнее" другой, хочется сложить всю строку за неделю и получить общее отклонение за весь отчетный период. Но этого делать нельзя, мы сами так построили эти показатели, что, сложив, получим ноль (с точностью до погрешности округления - среднее арифметическое величина не обязательно целая). Чтобы избежать этого обнуления, нам надо, чтобы каждое отклонение от среднего арифметического "лишилось" своего знака. Для этого возводят каждую величину в квадрат, и лишь затем суммируют весь ряд значений.
Чтобы не зависеть от периода осреднения делят полученную сумму квадратов на число слагаемых (в нашем случае, по-прежнему на семь). Такая величина называется дисперсией.
Дисперсия (руб2)Среднее квадратическое отклонение (руб)
Палатка 1295522543,6
Палатка 227633166,2
Палатка 1+2161938402,4
Мы видим, что дисперсия действительно очень показательная величина. У "Палатки выходного дня" она выше более, чем в десять раз.
Дисперсией часто пользуются, но более удобная характеристика носит название среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение - это квадратный корень из дисперсии, он удобен тем, что имеет ту же размерность, что и исходные величины. Так, в нашем случае, дисперсия имела бы размерность "рубли в квадрате", в то время как среднее квадратическое отклонение получается просто и привычно, в рублях.
В нашем примере, видно, что суммарная дисперсия и среднее квадратическое отклонение у двух палаток вместе все-таки выше, чем у одной первой палатки, причем среднее квадратическое отклонение выше более чем в два раза. Значит, наша гипотеза о "повышенной стабильности суммы" за счет присутствия второй палатки несостоятельна.
Иногда, вместо среднего арифметического употребляют другие характерные величины, если это по каким-то причинам лучше описывает выборку.
Так если расставить выборку по возрастанию (или убыванию) той величины, которой мы интересуемся, то медиана - это то, что будет ровно посередине "строя". Например, если мы расположим по порядку меры времени: секунда, минута, час, сутки и неделя - то медианой будет час.
Еще одно понятие для замены среднего - мода. Само название позволяет легко запомнить это определение. Если мы выстроим по порядку все пары обуви на складе по размеру, то самый ходовой размер будет модой. Мода - это то, что непременно должны учитывать производители упаковок и фасовщики. Если бы большинство людей покупало за один раз стакан молока, молочные пакеты не были бы литровыми. Мы видим, появление в школьной программе вероятностно-статистической линии, ориентированной на знакомство учащихся с вероятностной природой большинства явлений окружающей действительности, будет способствовать усилению её общекультурного потенциала, возникновению новых, глубоко обоснованных межпредметных связей, формирования компетентностного подхода к изучению математики, гуманитаризации школьного математического образования.