Мельникова С.В., преподаватель математики

 ТОГАОУ СПО "Педагогический колледж г. Тамбова"

Тема урока: правильные многогранники.

Тип урока: урок открытия новых знаний.

Форма проведения: лекция

Цель: сформировать понятие правильного многогранника

-формировать компетентностный подход к изучению математики;

-формировать представление о математике, как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

- воспитывать отношение к математике как части общечеловеческой культуры;

 -познакомить обучающихся с историей возникновения и развития теории многогранников;

-развивать пространственные представления обучающихся;

- воспитывать эстетическое восприятие мира, гармонию со своим внутренним миром, природой и социумом.

«Педагогический процесс только тогда хорош, когда в нём воспитание идёт впереди обучения, ибо вызванные им к действию духовные силы будут впитывать знания как пищу, необходимую для дальнейшего роста и становления личности школьника» Ш. А. Амонашвили

В условиях модернизации системы образования воспитание становится одним из приоритетных направлений деятельности образовательного учреждения. Стабильное развитие современного общества возможно только при активном, созидательном включении молодежи во все сферы социальной жизни. Воспитание представителей подрастающего поколения как граждан правового, демократического государства, способных к созидательному решению личных и общественных проблем в условиях гражданского общества и быстроизменяющегося мира – эта установка приобретает особое звучание в ситуации реализации Концепции модернизации общего и профессионального образования. Оно должно быть направлено на достижение важнейшей цели: духовно – нравственного становления личности студентов. Духовно-нравственное воспитание - организованная и целенаправленная деятельность преподавателей, общественных структур и родителей, направленная на формирование высших нравственных ценностей у студентов, а также качеств патриота и защитника Родины. Сущность духовно-нравственного воспитания можно уточнить, учитывая влияние двух факторов: религиозного и рационального. Использование рационального фактора направлено на формирование следующих общечеловеческих ценностей: наличие у молодого человека научного мировоззрения; наличие чувства внутренней свободы у студентов, которое представляет собой гармонию со своим внутренним миром, природой и социумом; стремление к самореализации; успешность ведущей образовательной деятельности; адекватность самооценки; сформированность мотивов поведения в согласии с высшими принципами нравственности и религиозными ценностями. Урок математики «Правильные многогранники» в системе уроков по духовно — нравственному воспитанию способствует реализации рационального фактора.

 "Математика есть прообраз красоты мира” И. Кеплер "Окружающий нас мир – это мир геометрии” А.Д. Александров

"Ничто не нравится, кроме красоты, в красоте – ничто, кроме форм, в формах – ничто, кроме пропорций, в пропорциях – ничто, кроме числа” А. Августин

1. Мотивация познавательной активности

Увлекательный раздел геометрии – теория многогранников. Многогранники выделяются необычными свойствами, красивыми формами, которые находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей для реальных архитектурных сооружений.

2. Актуализация ранее пройденных знаний

Давайте вспомним · Что же называется многогранником? Его вершиной, гранью, ребром? · Какой многогранник называется выпуклым?
· Определите, какие из многогранников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми и какие невыпуклыми?
· Какие виды многогранников вы знаете? · Что называется призмой, пирамидой?
3. Открытие нового материала

Мы уже знакомы с правильными многоугольниками. Уточните это понятие. Сегодня перед нами открывается мир правильных многогранников. Определение: Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Школе Пифагора приписывают открытие существования 5 типов правильных выпуклых многогранников.
Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов 

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240 градусов 

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов.
Куб (гексаэдр) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324градуса.
Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: «эдра» - грань, «тетра» - 4, «гекса» - 6 , «окта» - 8 , «икоси» - 20 , «додека» - 12. Изучая любые многогранники, естественно подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов Платоновых тел и занесём результаты в таблицу.

Какую закономерность вы заметили? Число В – Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Эйлерова характеристика выпуклого многогранника равна 2.

· Сравните 2 столбца таблицы В и Г. Что вы заметили? Из таблицы видно, что у куба и октаэдра одно и тоже число ребер, но у куба столько вершин, сколько у октаэдра граней, и, наоборот, у куба столько граней, сколько у октаэдра вершин. Аналогичные соотношения имеют место для додекаэдра и оксаэдра. Если центры граней октаэдра принять за вершины другого многогранника, то последний будет кубом. Куб и октаэдр называются взаимно двойственными многогранниками. Взаимно двойственными многогранниками будут также додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр двойственен самому себе. Учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своем трактате «Тимей» Платон. С тех пор правильные многогранники называют Платоновыми телами. Они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени. Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации. Правильным многогранником посвящена последняя, XIII книга знаменитого труда Евклида «Начала». Существует версия, что Евклид написал первые 12 книг для того, чтобы читатель понял написанную в XIII книге теорию правильных многогранников, которую историки математики называют «венцом «Начал»». Здесь установлено существование всех пяти типов правильных многогранников, пути их построения и доказано, что других правильных многогранников не существует. А все-таки, почему же правильных многогранников только пять? Ведь правильных многоугольников на плоскости – бесконечное число. Исследуем возможность существования правильных многогранников. При этом будем опираться на свойство плоских углов многогранного угла. Теорема: Сумма плоских углов выпуклого многогранника, сходящихся при одной вершине, меньше 360о. а) Пусть грани правильного многогранника – правильные треугольники. α = 60о. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то 60о ·n < 360o ,n < 6, n = 3, 4, 5, т.е. существует 3 вида правильных многогранников с треугольными гранями. Это тетраэдр, октаэдр, икосаэдр. б) Пусть грани правильного многогранника – квадраты. α = 90о. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то 90о · n 360о,n 4, n = 3, т.е. квадратные грани может иметь лишь правильный многогранник с трехгранными углами – куб. в) Пусть грани - правильные пятиугольники, α = 180 (5 – 2) : 5 = 108, n·108 меньше 360 n = 3 - додекаэдр. г) У правильного шестиугольника внутренние углы: α = 180 * (6 – 2 ) : 6 = 30 * 4 = 120
В этом случае невозможен даже трехгранный угол. Значит, правильных многогранников с шестиугольными и более гранями не существует.
А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI – XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 – 1630).
Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными
многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы.
Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца. Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, не может существовать наука. Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Инженеры считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место. Рассуждая об устройстве мира, нельзя оставить без внимания живую природу. Встречаются ли в живой природе правильные многогранники? Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? Тем, по-видимому, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий - вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.
Последний правильный многогранник – икосаэдр передает форму кристаллов бора. В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.
Большой интерес к формам правильных много­гранни­ков проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников.Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Художественное изображение многогранников в разработанной Леонардо технике жестких ребер.
Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Эшера (1898-1972). Эшер пользуется как техникой сплошных граней, так и методом жестких ребер Леонардо. а — «Звезды» (1948), б — «Рептилии» (1943).
Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» (1955) изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
История изучения и изображения многогранников, уходящая корнями в глубь тысячелетий, продолжается в наши дни, неожиданно «превращаясь» в технологии новых материалов и историю современной архитектуры. История эта являет собой яркий пример взаимопроникновения различных областей знания, неразрывности понятий «наука» и «искусство» как различных способов познания мира, двух основных составляющих единого целого — культуры, главного наследия человеческой цивилизации.

 4. Домашнее задание «Геометрия 10 – 11», Л.С. Атанасян и др., М, «Просвещение» стр. 68 – 71, № 280 – 282, составить модель правильного многогранника по его развертке или каркасную его модель.

5. Итог урока

Формулирование основных понятий и соотношений, аргументирование эпиграфов к уроку.